Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點，
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：PA∥平面MBD；
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先證明PQ⊥底面ABCD，即為底面ABCD上的高，進而即可求出其體積；
（2）連接底面的對角線交于點O，再連接OM，利用三角形的中位線即可證明；
（3）由（1）可知：PQ⊥底面ABCD，因此只要在底面上找到一條直線與BQ垂直即可，由平面幾何的知識可知，只要取AB的中點N即可．

解答：解：（1）連接PQ，∵PA=PD=AD=4，AQ=QD，∴PQ⊥AD，PQ=2

3

．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD．
∴V=

1

3

×42×2

3

=

32 3

3

．
（2）證明：連接AC、BD交于點O，連接OM．
則AO=OC，又PM=MC，
∴PA∥OM．
∵PA?平面BMD，OM?平面BMD，
∴PA∥平面BMD．
 3）存在，N為AB中點．
證明：取AB的中點N，連接CN交BQ于點E．
由正方形ABCD可知：△ABQ≌△BCN，∴∠ABQ=∠BCN，
∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠ABQ+∠CNB=90°，∴BQ⊥CN．
由（1）可知：PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥CN．
又PQ∩QB=Q，∴CN⊥平面PQB，
∵CN?平面PCN，
∴平面PCN⊥平面PQB．

點評：熟練掌握線面、線面的平行與垂直的判定定理與性質定理即錐體的體積是解題的關鍵．