Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）是否存在實數(shù)m使得f（x+2）+f（m﹣x）為常數(shù)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=loga 為奇函數(shù)，下面證明：

解 ＞0可得定義域為{x|x＜﹣5或x＞5}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

f（﹣x）=loga =﹣loga =﹣f（x），

∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)

（2）

解：假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m﹣x）

=loga =loga ，

∴ 為常數(shù)，設(shè)為k，

則（k﹣1）x2+（m﹣2）（1﹣k）x﹣3（m﹣5）﹣7k（m+5）=0對定義域內(nèi)的x恒成立

∴ ，解得

∴存在這樣的m=﹣2

【解析】（1）f（x）=loga 為奇函數(shù)，求函數(shù)的定義域并利用奇函數(shù)的定義證明即可；（2）假設(shè)存在這樣的m，則f（x+2）+f（m﹣x）=loga ，即 為常數(shù)，設(shè)為k，整理由多項式系數(shù)相等可得m和k的方程組，解方程組可得．