Question

（本小題滿分10分）設動點到點和的距離分別為和，，且存在常數，使得　
（1）證明：動點的軌跡為雙曲線，并求出的    方程；
（2）過點作直線交雙曲線的右支于兩點，試確定的范圍，使，其中點為坐標原點　

Answer 1

（1）
（2）

解：（1）在中，，即，
，即（常數），
點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線
方程為：　
（2）設，
①當垂直于軸時，的方程為，，在雙曲線上　
即，因為，所以　
②當不垂直于軸時，設的方程為　
由得：，
由題意知：，
所以，　
于是：　
因為，且在雙曲線右支上，所以
　
由①②知，