Question

 （ 12分）在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于

城市O（如圖）的東偏南）方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風的

侵襲？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：如圖建立坐標系以O為原點，正東方向為x軸正向.

在時刻t：臺風中心P（）的坐標為

                  ……………………4分

    此時臺風侵襲的區域是……………………6分

    其中                         ……………………8分

若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有

    即

    ……………………11分

    答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲. ……………………  12分

 

解法二：設在時刻t(h)臺風中心為Q，

此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t+60(km) ……2分

　　　　若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則                 

　　　　OQ≤10t+60                        ………4分

　　　　由余弦定理知

　　　　OQ²=PQ²+PO²-2·PQ·POcos∠OPQ

　　　　由于PO=300，PQ=20t，

　　　　cos∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°

　　　　=                 ……………………6分    

　　故OQ²=(20t)²+300²-2×20t×300×=20²t²-9600t+300²

　　　　因此20²t²-9600t+300²≤(10t+60)²，　 　……………………8分

　　即t²-36t+288≤0，                                                 

　　　　解得12≤t≤24                               ……………………11分

    答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲. ……………………  12分