Question

已知兩定點A（-2，0），B（1，0），動點P（x，y）滿足|PA|=2|PB|．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）設點S在過點A且垂直于x軸的直線l上運動，作SM，SN與軌跡C相切（M，N為切點）．
①求證：M，B，N三點共線；
②求的最小值．

Answer 1

解：（1）已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|=2|PB|，設P點的坐標為（x，y），
則（x+2）²+y²=4[（x-1）²+y²]，即（x-2）²+y²=4，
所以點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
（2）表示P（x，y）與定點（-2，0）所連直線的斜率
而點P（x，y）在圓（x-2）²+y²=4，上運動，
設即y=k（x+2），即kx-y+2k=0，圓心（2，0）到此直線的距離為：
d=，令d=2得?k=±，
結合圖形易求得的取值范圍為[-，]．
（3）①如圖，由題意知直線MN可看成是以SC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線，
設S（-2，t），C（2，0），則以SC為直徑的圓的方程為：
x²+（y-）²=2²+（0-）²即x²+y²-ty-4=0，又（x-2）²+y²=4
兩者作差，得：4x-ty-4=0，此方程即為直線MN的方程，
令y=0得x=1，即直線MN過點B（1，0），
從而M，B，N三點共線；
②=
=
=
設SC=m，由于MC=2，且m≥4，
∴=m²+-12，此函數在m≥4時是單調增函數，
當且僅當m=4時，它取得最小值，最小值為：m²+-12=4²+-12=6．
故的最小值6．
分析：（1）設P點的坐標為（x，y），用坐標表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點P的軌跡方程；
（2）利用的幾何意義，轉化為P（x，y）與定點（-2，0）所連直線的斜率，故易求．
（3）①如圖，由題意知直線MN可看成是以SC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線，利用兩圓的方程的差求得直線MN的方程，從而證得直線MN過點B（1，0），從而M，B，N三點共線；
②由于===
設SC=m，從而建立函數關系式=m²++4，此函數在m≥4時是單調增函數，從而求出的最小值．
點評：本題考查軌跡方程、三點共線、平面向量數量積的運算等．本題求軌跡的方法是利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．