Question

（本題13分）已知函數。

（Ⅰ）若，試判斷并證明的單調性；

（Ⅱ）若函數在上單調，且存在使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當時，求函數的最大值的表達式。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）用定義證明函數的單調性；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，在上單調遞增           1分

證明：              1分

則

                               2分

，在上單調遞增。  

（Ⅱ）當時，

由于

則

則當時，，單調增；

當時，，單調減。

所以，當時，在上單調增；                2分

又存在使成立

所以。              2分

綜上，的取值范圍為。

（Ⅲ）當時，

由（Ⅰ）知在區間上單調遞增，    1分

由（Ⅱ）知，①當時，在上單調增，

②當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

又因為在上是連續函數

所以，①當時，在上單調增，則；

②當時，在上單調增，在上單調減，在上單調增，

2分

則 

綜上，的最大值的表達式。                 2分

考點：函數的單調性；函數的最值；基本不等式。

點評：解決恒成立問題常用變量分離法，變量分離法主要通過兩個基本思想解決恒成立問題， 思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。注意恒成立問題與存在性問題的區別。