Question

【題目】已知圓C的圓心在直線l：2x﹣y＝0上，且與直線l1：x﹣y+1＝0相切．

（Ⅰ）若圓C與圓x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，試求圓C的半徑；

（Ⅱ）滿足已知條件的圓顯然不只一個，但它們都與直線l1相切，我們稱l1是這些圓的公切線．這些圓是否還有其他公切線？若有，求出公切線的方程，若沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）還存在一條公切線，其方程為7x﹣y+5＝0．

【解析】

（I）設出圓的圓心坐標，利用圓心到直線的距離表示半徑，再根據兩圓外切的條件列方程，解方程求得圓的半徑.

（II）將另一條公切線的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結合圓心到兩條公切線的距離相等列方程，由此求得另一條公切線的方程.

（Ⅰ）設圓C的圓心坐標為（a，2a），則半徑r，

兩圓的連心線長為|a﹣1|r，

因為兩圓外切，所以r＝r+9，∴r1；

（Ⅱ）如果存在另一條切線，則它必過l與l1的交點（1，2），

①若斜率不存在，則直線方程為：x＝1，圓心C到它的距離|a﹣1|＝r，

由于方程需要對任意的a都成立，因此無解，所以它不是公切線，

②若斜率存在，設公切線方程為：y﹣2＝k（x﹣1），

則dr對任意的a都成立，，，兩邊平方并化簡得k2﹣8k+7＝0，解得k＝1或k＝7，

當k＝1時，直線與l1重合，

當k＝7時，直線方程為7x﹣y+5＝0，

故還存在一條公切線，其方程為7x﹣y+5＝0．