Question

某投資公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x成正比例，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2，（注：利潤(rùn)與投資量單位：萬(wàn)元）
（1）分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該公司已有10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析：（1）由于A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x成正比例，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x的算術(shù)平方根成正比例，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系式，利用圖象中的特殊點(diǎn)，可求函數(shù)解析式；
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10-x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元．利用（1）由此可建立函數(shù)，采用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)．利用配方法求函數(shù)的最值．

解答：解：（1）設(shè)投資為x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f（x）萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g（x）萬(wàn)元．
由題意設(shè)f（x）=k₁x，g(x)=k2

x

．由圖知f(1)=

1

5

，∴k1=

1

5

又g（4）=1.6，∴k2=

4

5

．從而f(x)=

1

5

x(x≥0)，g(x)=

4

5

x

(x≥0)（8分）
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10-x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元．
y=f(x)+g(10-x)=

x

5

+

4

5

10-x

（0≤x≤10）
令

10-x

=t，則y=

10-t2

5

+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

14

5

(0≤t≤

10

)
當(dāng)t=2時(shí)，ymax=

14

5

=2.8，此時(shí)x=10-4=6（15分）
答：當(dāng)A產(chǎn)品投入6萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入4萬(wàn)元時(shí)，
該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，利潤(rùn)為2.8萬(wàn)元．                              （16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查正比例函數(shù)模型，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．