Question

如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點，BB₁＝，M是線段B₁D₁的中點．

(1)求證：BM∥平面D₁AC；
(2)求證：D₁O⊥平面AB₁C；
(3)求二面角B-AB₁-C的大小．

Answer 1

60°.

(1)證明　建立如圖所示的空間直角坐標系，則點O(1,1,0)、D₁(0,0，)，
∴＝(－1，－1，)，
又點B(2,2,0)，M(1,1，)，
∴＝(－1，－1，)，
∴＝，又∵OD₁與BM不共線，
∴OD₁∥BM.
又OD₁?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，
∴BM∥平面D₁AC.

(2)證明　連接OB₁.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝
(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD₁⊥OB₁，OD₁⊥AC，又OB₁∩AC＝O，∴D₁O⊥平面AB₁C.
(3)解　∵CB⊥AB，CB⊥BB₁，∴CB⊥平面ABB₁，∴＝(－2,0,0)為平面ABB₁的一個法向量．由(2)知為平面AB₁C的一個法向量．
∴cos〈，〉＝，∴與的夾角為60°，即二面角B-AB₁-C的大小為60°.