Question

設雙曲線的左、右頂點分別為A₁，A₂垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；
（2）求直線A₁P與A₂Q的交點M的軌跡E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知，得到P的坐標滿足的等式，又點P在雙曲線上得到p的坐標滿足的另一個等式，解方程組求出p的坐標，進一步得到T的坐標．
（2）利用A₁，P，M三點共線，得：，由A₂，Q，M三點共線，，
從中得到，又P（x，y）在雙曲線上，
代入雙曲線方程求出軌跡方程．
解答：解：（1）由題意得，設P（x，y），Q（x，-y），
則．
由，
即x²-y²=3，①…（3分）
又P（x，y）在雙曲線上，則．②
聯立①、②，解得：x=±2，由題意，x＞0，
∴x=2，
∴點T的坐標為（2，0）…（6分）
（2）設直線A₁P與A₂Q的交點M的坐標為（x，y），
由A₁，P，M三點共線，得：，①
由A₂，Q，M三點共線，得：，②
聯立①、②，解得：．…（9分）
∵P（x，y）在雙曲線上，
∴
∴軌跡E的方程為．…（12分）
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生對解析幾何學知識的綜合運用．