Question

運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇．它們的速度分別為50千米/小時，100千米/小時，500千米/小時，每千米的運費分別為a元、b元、c元，且b＜a＜c．又這批海鮮在運輸過程中的損耗為500元/小時，若使用三種運輸工具分別運輸時各自的總費用（運費與損耗之和）互不相等，試確定使用哪種運輸工具總費用最省．（題中字母均為正的已知量）

Answer 1

分析：要確定定使用哪種運輸工具總費用最省，我們可以分別構造三個函數計算三種運輸方式的費用，然后構造不等式，討論三種運輸方式下運輸工具總費的大小關系，最小的即為最省的運輸模式．

解答：解：設運輸路程為S（千米），使用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時，
各自的總費用分別為y₁（元）、y₂（元）、y₃（元）．則由題意，
y1=aS+

S

v

m=(a+

m

v

)S，
y₂=(b+

m

2v

)S，
y₃=(C+

m

10v

)S
由a＞b，各字母均為正值，
所以y₁-y₂＞0，即y₂＜y₁．
由y₃-y₂=[（c-b）-

2m

5v

]S．
令y₃-y₂＞0，由c＞b及每字母都是正值，
得c＞b+

2m

5v

．
所以，當c＞b+

2m

5v

時y₂＜y₃，由y₂＜y₁，即y₂最小，
當b＜a＜c＜b+

2m

5v

時，y₃＜y₂＜y₁，y₃最小．
即當c＞b+

2m

5v

時，用火車運輸總費用最省；當c＜b+

2m

5v

時，用飛機運輸總費用最省；

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．