Question

【題目】如果從北大打車到北京車站去接人，聰明的專家一定會選擇走四環。雖然從城中間直穿過去看上去很誘人，但考慮到北京的道路幾乎總是正南正北的方向，事實上不會真有人認為這樣走能抄近路。在城市中，專家估算兩點之間的距離時，不會直接去測量兩點之間的直線距離，而會去考慮它們相距多少個街區。在理想模型中，假設每條道路都是水平或者豎直的，那么只要你朝著目標走（不故意繞遠路），不管你這樣走，花費的路程都是一樣的。出租車幾何學（taxicab geometry），所謂的“出租車幾何學”是由十九世紀的另一位真專家赫爾曼-閔可夫斯基所創立的。在出租車幾何學中，點還是形如的有序實數對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣。只是直角坐標系內任意兩點，定義它們之間的一種“距離”：，請解決以下問題：

（1）定義：“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，求“圓周”上的所有點到點的“距離”均為的“圓”方程，并作出大致圖像；

（2）在出租車幾何學中，到兩點、“距離”相等的點的軌跡稱為線段的“垂直平分線”，已知點，，；

①寫出在線段的“垂直平分線”的軌跡方程，并寫出大致圖像；

②求證：三邊的“垂直平分線”交于一點（該點稱為的“外心”），并求出的“外心”.

Answer 1

【答案】（1）；（2），若，則；若，則；若，則；②證明略，“外心”

【解析】

（1）利用“圓”的概念，能夠求出“圓周”上的所有點到點的“距離”均為的“圓”的方程；

（2）①由已知條件，得，由此能夠求出線段的垂直平分線的軌跡方程并畫出大致圖象；

②設三角形“外心”坐標為，由結合絕對值的性質，求得點的坐標．

（1）“圓”是所有到定點“距離”為定值的點組成的圖形，

“圓周”上的所有點到點的“距離”均為，

“圓”方程為：；

（2）①由題意知，設到兩點距離相等的點的坐標為，

則.

（ⅰ）當時，去絕對值符號得：

整理得，顯然或時，該方程無解.

當時，去絕對值符號得：，

整理得：，解得.

則此情況下，與的關系為.

（ⅱ）當時，去絕對值符號得

整理得

當時，去絕對值符號得：即

當時，去絕對值符號得：，舍去；

當時，去絕對值符號得：，舍去；

所以此情況下，與的關系為.

（ⅲ）當時，去絕對值符號得：，

整理得，顯然或時，該方程無解.

當時，去絕對值符號得：，解得.

所以.

綜上所述，到兩點距離相等的坐標為的點的軌跡方程，即線段的垂直平分線的方程為：當時，；當時，；當時，.

②由題意知

由知到點距離相等的點的坐標為滿足：

即，解得.

故線段的垂直平分線的方程為.

由知到點距離相等的點的坐標為滿足：

解得：.

故線段的垂直平分線的方程為.

則線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的唯一交點坐標為.

由（2）①知，當時，

即線段的垂直平分線也經過點.

所以三邊的“垂直平分線”交于一點，且．