Question

已知點P（x，y）滿足條件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，點A（2，1），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值為（　　）

• A、

  4

  5

  5

• B、

  7

  5

  5

• C、

  9

  5

  5

• D、

  5

Answer 1

分析：先根據約束條件畫出可行域，利用向量的數量積將|

OP

|•cos∠AOP轉化成

2x+y

5

，設z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內的點M時，從而得到|

OP

|•cos∠AOP的最大值即可．

解答：解：在平面直角坐標系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
所以|

OP

|•cos∠AOP=

2x+y

5

，
令z=2x+y，則y=-2x+z，即z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，
由圖形可知，當直線經過可行域中的點B（2，1）時，z取到最大值，
這時z=5，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

5

5

=

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于

5

5

=

5

．
故選D．

點評：本題主要考查了向量的數量積、簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規劃問題的拓展與延伸，使得規劃問題得以深化．