Question

已知

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x），f（x）=

a

•

b

，P是實數．
（1）若存在唯一實數x，使

a

+

b

與

c

=(1，2)平行，試求P的值；
（2）若函數y=f（x）是偶函數，試求y=|f（x）-15|在區間[-1，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）當

a

+

b

與

c

=(1，2)平行時，根據向量平行的條件列式，可得關于x的一元二次方程，再由存在唯一實數x使兩個向量平行，運用根的判別式可算出p=-

47

8

；
（2）根據向量數量積的坐標運算，可得f（x）=3x²+（p+2）x+3，結合函數為偶函數算出p=-2，從而得到y=|f（x）-15|=|3x²-12|，最后根據二次函數的性質分情況討論，即可得到y=|f（x）-15|在區間[-1，3]上的值域．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=（x²+4，x+p+2）
∴當

a

+

b

與

c

=(1，2)平行時，有
2（x²+4）=x+p+2，化簡得2x²-x-p+6=0
∵存在唯一實數x，使

a

+

b

與

c

=(1，2)平行
∴△=1²-8（-p+6）=0，解之得p=-

47

8

；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=3（x²+1）+（p+2）x=3x²+（p+2）x+3
∴當y=f（x）是偶函數時，p+2=0，解得p=-2
因此，f（x）=3x²+3，可得y=|f（x）-15|=|3x²-12|
當x∈[-1，2]時，y=|f（x）-15|=12-3x²，最大值為12且最小值為0；
當x∈（2，3]時，y=|f（x）-15|=3x²-12，最大值為15，且最小值大于0
綜上所述，y=|f（x）-15|在區間[-1，3]上的最大值為15，且最小值為0
∴y=|f（x）-15|在區間[-1，3]上的值域是[0，15]．

點評：本題以向量的平行和向量的數量積運算為載體，著重考查了一元二次方程根的判別式和二次函數在閉區間上值域的求法等知識，屬于中檔題．