Question

設f（x）是定義在R上以2為周期的偶函數，已知x∈（0，1）時，f（x）=log

1

2

（1-x），則函數f（x）在（1，2）上（　　）

• A、是減函數，且f（x）＞0
• B、是增函數，且f（x）＞0
• C、是增函數，且f（x）＜0
• D、是減函數，且f（x）＜0

Answer 1

分析：先求出函數f（x）在 （-1，0）上的解析式，再利用周期性求出函數f（x）在（1，2）上 的解析式，從而確定函數的單調性及函數的值域．

解答：解：設 x∈（-1，0），則-x∈（0，1），故 f（-x）=log

1

2

（1+x）．
又f（x）是定義在R上以2為周期的偶函數，故 f（x）=log

1

2

（1+x）．
再令 1＜x＜2，則-1＜x-2＜0，∴f（x-2）=log

1

2

[1+（x-2）]，
∴f（x）=log

1

2

[x-1]，
由1＜x＜2 可得 0＜x-1＜1，
故函數f（x）在（1，2）上是減函數，且f（x）＞0，
故選A．

點評：本題考查函數的單調性，奇偶性和周期性，以及求函數的解析式，求出函數f（x）在（1，2）上 的解析式，是解題的難點和關鍵．