Question

已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線的距離為2，Q是上一動點，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交于M、N兩點，對于任意直徑MN，平面上恒有一定點A，使得∠MAN為定值。求∠MAN的度數。

Answer 1

60°

解析:

以為x軸，點P到的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標系，設Q的坐標為(x, 0)，點A(k, λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ∴tan∠MAN=

，令2m=h²+k²-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，兩邊平方，得：m²+2m(1-nh)r-(1-nh)²r²=k²r²+2k²r-3k²，因為對于任意實數r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h²+k²-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（當Q(0, 0), r=1時∠MAN=60°），故∠MAN=60°。