Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，PB=PC，AB=1，BC=

2

，E，F分別是BC，PC的中點．
（1）求證：AC⊥平面PAB；
（2）當∠PCA=

π

3

時，求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）證明AC⊥平面PAB，根據線面線面垂直的判定定理，即證明AC⊥AB，PA⊥AC，
（2）解法1：分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，FM和MN，可證∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，在Rt△FMN中，即可求二面角F-AE-C的大小；
解法2：建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面PCD的一個法向量與平面ABCD的一個法向量，利用∠PCA=

π

3

，確定PA的長，求出平面FAE的一個法向量，利用AP是平面AEC的一個法向量，即可求得二面角F-AE-C的大小．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC
∴AB=AC=1，且BC=

2

，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=

π

2

，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PA⊥AC，又∠PCA=

π

3

，故在Rt△PAC中，AC=1，∴PA=

3

，PC=2，
從而AF=

1

2

PC=1，EF=

1

2

PB=

1

2

PC=1，
又在Rt△ABC中，AE=

1

2

BC=

2

2

，
在等腰三角形△FAE，分別取AC中點N和AE中點M，連接FN，FM和MN，
∴中位線FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，
∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中線FM⊥AE，由三垂線定理知，MN⊥AE，∠FMN為二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，FN=

1

2

PA=

3

2

，MN=

1

2

EC=

2

4

，tan∠FMN=

FN

MN

=

6

，∠FMN=arctan

6

，
∴二面角F-AE-C的大小為arctan

6

．
解法2：由（Ⅰ）知，以點A為坐標原點，以AB、AC、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設PA=λ，∵在Rt△PAC中，∠PCA=

π

3

，∴λ=

3

，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P(0，0，

3

)，D（-1，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，F(0，

1

2

，

3

2

)，
則

CP

=(0，-1，λ)，

AE

=(

1

2

，

1

2

，0)，
設平面FAE的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則由

n • AE =0 n • CP =0

得

x=-y y=λz

，取

n

=(-

3

，

3

，1)．
又

AP

是平面AEC的一個法向量，設二面角F-AE-C的平面角為θ，則cos＜

AP

•

n

＞=

AP • n

| AP || n |

=

3

3 • 7

=

7

7

，
∴cosθ=

7

7

，∴θ=arccos

7

7

∴二面角F-AE-C的大小為arccos

7

7

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直、面面角，解題的關鍵是利用線面垂直的判定定理，掌握面面角的求法，傳統方法與向量方法一起運用，注意細細體會．