Question

已知函數，且．（e是自然對數的底數）
（1）求a與b的關系式；
（2）若f（x）在其定義域內為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）的解析式及f（e）的解析式確定a與b的關系．
（2）因為f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，所以，它的導數大于或等于0恒成立，或它的導數小于或等于0恒成立，分別就a=0、a＞0、a＜0三種情況進行討論．
解答：解：（1）由題意知，f（e）=ae--2=be--2，
∴（a-b）•（e+）=0，∴a=b，
（2）由（1）知  f（x）=ax--2•lnx，f′（x）=a+-=，
令 h（x）=ax²-2x+a，因為f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，
∴在其定義域（0，+∞）內，h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①當a=0時，h（x）=-2x，
∵x＞0，∴h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，
故a=0滿足條件．
②當a＞0時，h（x）圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x=，h（x）的最小值是a-，只需 a-≥0，
∴a≥1，即a≥1時，f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，故a≥1滿足條件．
③當a＜0時，h（x）圖象是開口向下的拋物線，對稱軸是x=∈（0，+∞），
∴在（0，+∞）內，h（x）≤0成立，
∴f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調減函數，
∴當a＜0時，滿足條件．
綜上可得，a的取值范圍是a≥1或a≤0．
點評：本題考查利用函數導數研究函數的單調性，體現了分類討論的數學思想．