Question

【題目】某產品生產廠家根據以往銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為g（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入R（x）（萬元）滿足： 假設該產品產銷平衡，試根據上述資料分析：
（1）要使工廠有盈利，產量x應控制在什么范圍內；
（2）工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？
（3）當盈利最多時，求每臺產品的售價．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，g（x）=x+2，設利潤函數為f（x），

則f（x）=R（x）﹣g（x）= ，

由f（x）＞0得，

1＜x≤5或5＜x＜8.2，

故1＜x＜8.2，

故要使工廠有盈利，產量x應控制在100臺到820臺內

（2）解：當0≤x≤5時，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，

故當x=4時有最大值3.6；

當x＞5時，f（x）＜8.2﹣5=3.2；

故當工廠生產400臺產品時，可使盈利最多為3.6萬元

（3）解：當x=4時，

R（4）=9.6（萬元）， =2.4（萬元/百臺），

故盈利最多時，每臺產品的售價為240元

【解析】（1）由題意，g（x）=x+2，設利潤函數為f（x），則f（x）=R（x）﹣g（x）= ，解f（x）＞0即可．（2）分別求各段上的最大值，從而求最高盈利；（3）當x=4時，R（4）=9.6（萬元）， =2.4（萬元/百臺），從而得到．