Question

【題目】已知函數.

（1）若為銳角，， ，求及的值；

（2）函數，若對任意都有恒成立，求實數的最大值；

（3）已知，，求及的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據同角三角函數的關系和二倍角的余弦公式可求得的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函數的基本關系以及兩角差的正切公式可求解的值；
（2）由余弦函數的有界性求得的值域，再將不等式分離參數，并令，可得對恒成立.易知函數在單調遞增，求出其最小值，則可得，從而求得的最大值；
（3）利用和差化積公式（需證明）以及二倍角公式，將該式化簡，配湊成，再結合，即可求出及的值.

解：（1），且為銳角，

，，

則，

又，為銳角，

，，

；

（2），

對任意恒成立，

即對任意恒成立，

令，

對恒成立，

又函數在單調遞增，

當時，，

，則的最大值為；

（3），

即 ，

，

，

，

又，

，

則，

，

即，

，

又，，

.