Question

設f（x）定義在R₊上，對于任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b）求證：
（1）f（1）=0；
（2）f（

1

x

）=-f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，則f（x）在（1，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）由題意令a=b=1代入f（ab）=f（a）+f（b），解得（1）=0；
（2）由題意令a=x∈R₊，b=

1

x

代入f（ab）=f（a）+f（b），再利用（1）的結論，即證出等式成立；
（3）利用定義法證明函數單調性，即取值-作差-變形-判斷符號-下結論，再利用（2）的結論和題意進行變形以及判斷符號．

解答：證明：（1）由題意知，任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b），
令a=b=1代入上式得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0．

（2）令a=x∈R₊，b=

1

x

代入f（ab）=f（a）+f（b），
得f（1）=f（x）+f（

1

x

），
∵f（1）=0，∴f（x）=-f（

1

x

）．

（3）設x₁＞x₂＞1，由（2）得f（x₂）=-f（

1

x2

），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（

1

x2

）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂＞1，∴

x1

x2

＞1，
又∵x∈（1，+∞）時，f（x）＜0，∴f（

x1

x2

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上是減函數．

點評：本題考查了抽象函數的單調性，反復利用恒等式f（ab）=f（a）+f（b），即根據需要給a和b適當的值，并且前兩問是第三問的基礎，這需要特別注意的地方，考查邏輯推理能力．