Question

已知雙曲=1，過其右焦點F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，則的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：依題意，不妨設過其右焦點F的直線的斜率為1，利用雙曲線的第二定義可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點M的橫坐標，從而使問題解決．
解答：∵雙曲線的方程為-=1，
∴其右焦點F（5，0），不妨設過其右焦點F的直線的斜率為1，
依題意，直線PQ的方程為：y=x-5．
由得：7x²+90x-369=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程7x²+90x-369=0的兩根，
∴x₁+x₂=-，y₁+y₂=（x₁-5）+（x₂-5）=x₁+x₂-10=-，
∴線段PQ的中點N（-，-），
∴PQ的垂直平分線方程為y+=-（x+），
令y=0得：x=-．又右焦點F（5，0），
∴|MF|=5+=．①
設點P在其準線上的射影為P′，點Q在其準線上的射影為Q′，
∵雙曲線的一條漸近線為y=x，其斜率k=，直線PQ的方程為：y=x-5，其斜率k′=1，
∵k′＜k，
∴直線PQ與雙曲線的兩個交點一個在左支上，另一個在右支上，不妨設點P在左支，點Q在右支，
則由雙曲線的第二定義得：==e==，
∴|PF|=x₁-×=x₁-3，
同理可得|QF|=3-x₂；
∴|PQ|=|QF|-|PF|
=3-x₂-（x₁-3）
=6-（x₁+x₂）
=6-×（-）
=．②
∴==．
故選B．
點評：本題考查雙曲線的第二定義的應用，考查直線與圓錐曲線的相交問題，考查韋達定理的應用與直線方程的求法，綜合性強，難度大，屬于難題．