Question

將數列{a_n}的各項排成如圖所示的三角形形狀.

(1)若數列{a_n}是首項為1,公差為2的等差數列,寫出圖中第5行第5個數;

(2)若函數f(x)=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ,且f(1)= n²,求數列{a_n}的通項公式;

(3)設T_m為第m行所有項的和,在(2)的條件下,用含m的代數式表示T_m.

Answer 1

解:(1)第5行第5個數是29.

(2)由f(1)=n²,得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n².

設S_n是數列{a_n}的前n項和,∴S_n=n².當n=1時,a₁=S₁=1,

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=n²-(n-1)²=2n-1.

又當n=1時,2n-1=1=a₁,∴a_n=2n-1,

即數列{a_n}的通項公式是a_n=2n-1(n=1,2,3,…).

(3)由(2)知數列{a_n}是首項為1,公差為2的等差數列.

∵前m-1行共有項1+2+3+…+(m-1)=×(m-1)=,

∴第m行的第一項為+1=2×(+1)-1=m²-m+1.

∴第m行構成首項為m²-m+1,公差為2的等差數列,且有m項.

∴T_m=(m²-m+1)×m+×2=m³.