Question

已知函數(shù)f（x）=e^|x|+a（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為1．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）已知b∈R且x＜0，試解關(guān)于x的不等式lnf（x）＜x²+（2b-1）x-3b²'；
（Ⅲ）已知m∈Z且m＞l，若存在實數(shù)t∈[-1，+∞），使得對任意的x∈[1，m]都有f（x+t）≤ex，試求m的最大值．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由e^|x|+a的最小值為1，可得函數(shù)f（x）的最小值為1+a=1，由此求得a的值．
（Ⅱ）由f（x）=e^|x|，x＜0，可得lnf（x）=-x+ln3．不等式化為-x＜x²+（2b-1）x-3b²，即（x+3b）（x-b）＞0．再分當(dāng)b≥0時，和b＜0時兩種情況，分別求得不等式的解集．
（Ⅲ）由題意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等價于 t≤1+lnx-x．原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對任意x∈[1，m]恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）=1+lnx-x的最小值為h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整數(shù)m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|x|≥0，
∴f（x）=e^|x|+a≥e⁰+a=1+a，
∵函數(shù)f（x）的最小值為1．
∴a=0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=e^|x|，
當(dāng)x＜0，lnf（x）=-x，
∵lnf（x）＜x²+（2b-1）x-3b²；
∴-x＜x²+（2b-1）x-3b²；
即x²+2bx-3b²＞0，
得（x+3b）（x-b）＞0，
∴當(dāng)b≥0時，不等式的解集為（-∞，-3b），
當(dāng)b＜0時，不等式的解集為（-∞，b），
（Ⅲ）∵當(dāng)t∈[-1，+∞），x∈[1，m]時，x+t≥0，
∵f（x+t）≤ex，
∴e^x+t≤ex，
∴t≤1+lnx-x，
令h（x）=1+lnx-x，（x∈[1，m]），
∴h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

≤0，
∴函數(shù)h（x）在[1，m]上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（m）=1+lnm-m，
∴1+lnm-m≥-1
即lnm-m+2≥0，
令g（m）=2+lnm-m，（m＞1）
∴g′（m）=

1

m

-1=

1-m

m

＜0，
∴函數(shù)g（m）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵g（3）=ln3-1=ln

3

e

＞0，g（4）=ln4-2=ln

4

e2

＜0
∴滿足條件的最大整數(shù)m的值為3．

點評：本題主要考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．