Question

如圖，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分別為，的中點，為底面的重心.

（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）平行關系的證明問題問題，要注意三角形中位線定理的應用，注意平行關系的傳遞性，以及線線關系、線面關系、面面關系的相互轉化；
（2）立體幾何中的求角問題，往往有兩種思路，即“幾何法”和“向量法”.本題應用“幾何法”，應注意“一作，二證，三計算”，注意在直角三角形中解決問題；
應用“向量法”，要注意利用已有的垂直關系，一建立空間直角坐標系.
本題建系后，確定點的坐標及平面的法向量為， 及
計算得到 ，利用角的“互余”關系，即得直線與平面所成角的正弦值為.
試題解析：（1）連結延長交于，則為的中點，又為的中點，
∴∥，又∵平面，∴∥平面            2分
連結，則∥，平面，∥平面          4分
∴平面∥平面，                  5分
平面，                        6分
（2）矩形所在的平面和平面互相垂直，
所以平面，又平面，所以         7分
又，，，
由余弦定理知，得          8分
∴⊥平面                            9分
所以為直線與平面所成的角，                 10分
在直角三角形中
             12分

法二：以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
          7分
設平面的法向量為，
，            8分
由 所以 
令，則 ，所以，         10分

∴                    11分
∴直線與平面所成角的正弦值為           12分