Question

已知函數f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

（x∈R，x≠0），其中a為常數，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數，求常數a的值；
（2）當f（x）為奇函數時，設f（x）的反函數為f^-1（x），且函數y=g（x）的圖象與y=f^-1（x+1）的圖象關于y=x對稱，求y=g（x）的解析式并求其值域；
（3）對于（2）中的函數y=g（x），不等式g²（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數定義域x∈（-∞，0）∪（0，+∞），再根據奇函數的定義，f（-x）=-f（x）在定義域內為恒等式，以此求出a的值
（2）由反函數解析式求法，求出f^-1（x），再根據函數值求法求出f^-1（x+1），最后再由反函數解析式求法，求出y=g（x）的解析式并求其值域；
 （3）將g²（x）+2g（x）+t•g（x）＞-2中，兩邊同除以g（x） 將 t進行分離，轉化成t與新生成函數的最值比較．

解答：解：（1）∵f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則f(-x)=

a•2-x+a2-2

2-x-1

=

(a2-2)2x+a

1-2x

=-

a•2x+a2-2

2x-1

（2分）
∴a²-2=a，解此方程可得：a=2或a=-1（3分）
又∵a＜0，∴a=-1（4分）
（2）由（1）知：a=-1，此時f(x)=-

2x+1

2x-1

，
∴2x=

y-1

y+1

，∴f-1(x)=log2

x-1

x+1

（6分）
∴f-1(x+1)=log2

x

x+2

（x＞0或x＜-2）（7分）
此時

x

x+2

=2y可得：x=

2y+1

1-2y

，
∴y=g(x)=

2x+1

1-2x

（9分）
∴g（x）的值域為（-∞，-2）∪（0，+∞）（10分）
（3）原不等式化為t•g（x）＞-g²（x）-2g（x）-2
當g（x）＞0時，t＞-[g(x)+

2

g(x)

]-2（11分）
此時-[g(x)+

2

g(x)

]-2≤-2

2

-2即t＞-2

2

-2（12分）
當g（x）＜-2時，t＜-[g(x)+

2

g(x)

]-2（13分）
∵g(x)+

2

g(x)

在g（x）∈（-∞，-2）單調遞增，
∴-[g(x)+

2

g(x)

]-2＞3-2=1即t≤1（15分）
綜上所述，實數t的取值范圍為(-2

2

-2，1]（16分）

點評：本題是函數與不等式的結合，主要考查了函數奇偶性的定義、反函數求解、等式、不等式恒成立問題．涉及到分離參數，分類討論，基本不等式、函數單調性求最值等知識和數學思想方法．是高中數學基礎知識、基本思想方法的有機融合和良好載體，值得細心解答與品位．