Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為_____________，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的重心恰為點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率為_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

空1：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求出a， c，再根據(jù)橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，最后求出上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

空2：設(shè)出直線(xiàn)MN的方程，與橢圓聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線(xiàn)定理進(jìn)行求解即可.

空1：因?yàn)?/span>右焦點(diǎn)為，所以有且，

而，所以，因此橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；

空2：設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，由（1）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立：，化簡(jiǎn)得：

，設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，于是有：，，

所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，

因?yàn)?/span>的重心恰為點(diǎn)，所以有，

即，

因此有：，

得：，所以直線(xiàn)斜率為.

故答案為：；