Question

【題目】已知a＜﹣1，函數f（x）=|x3﹣1|+x3+ax（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知存在實數m，n（m＜n≤1），對任意t0∈（m，n），總存在兩個不同的t1 ， t2∈（1，+∞），
使得f（t0）﹣2=f（t1）=f（t2），求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

記 ，

則f2′（x）=6x2+a，

因為 a＜﹣1則由f2′（x）=0可得x=± ，

（i） ，f1（x）在（﹣∞，1）上遞減，

f2（x）在[1，+∞）上遞增，

所以[f（x）]min=f（1）=a+1；

（ii） ，f1（x）在（﹣∞，1）上遞減， ，

所以 ．

綜上， ；

（Ⅱ）證明：不妨設t1＜t2，則由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，則f2（x）在（1，+∞）上遞增，

不滿足題意，所以a＜﹣6．

所以 ，且 ，

（i）a+1﹣2＞ ，即

即 ，解得 ，即 ，

所以 ，所以 ，

所以 ；

（ii）a+1﹣2≤ ，即 ，

即 ，解得 ，

所以 ，所以m≥1+ ，n≤ ，

所以n﹣m≤ ﹣1﹣

令 =u∈（1， ]，則 ﹣1﹣ = u﹣1+ ，

令φ（u）= u﹣1+ ，則 ，

所以φ（u）= u﹣1+ 在u∈（1， ]遞增，

所以φ（u）≤φ（ ）= ，所以n﹣m≤φ（u）≤

【解析】（Ⅰ）運用分段函數的形式寫出f（x），討論 ， ，判斷單調性，即可得到所求最小值；（Ⅱ）不妨設t1＜t2，則由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，則f2（x）在（1，+∞）上遞增，不滿足題意，所以a＜﹣6．討論（i）a+1﹣2＞ ，（ii）a+1﹣2≤ ，運用不等式的性質，求出n﹣m的不等式，即可得到證明．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．