Question

【題目】設函數由方程到確定，對于函數給出下列命題：

①對任意，都有恒成立：

②，使得且同時成立；

③對于任意恒成立；

④對任意，，

都有恒成立.其中正確的命題共有( )

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

分四類情況進行討論，畫出相對應的函數圖象，由函數圖象判斷所給命題的真假性．

由方程知，

當x≥0且y≥0時，方程為y2＝1；

當x＜0且y＜0時，方程為y2＝1，不成立；

當x≥0且y＜0時，方程為y2＝1；

當x＜0且y≥0時，方程為y2＝1；

作出函數f（x）的圖象如圖所示，

對于①，f（x）是定義域R上的單調減函數，則

對任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有恒成立，①正確；

對于②，假設點（a,b）在第一象限，則點(b,a)也在第一象限，

所以，該方程組沒有實數解，所以該情況不可能；

假設點（a,b）在第四象限，則點(b,a)在第二象限，

所以，該方程組沒有實數解，所以該種情況不可能；

同理點（a,b）在第二象限，則點(b,a)在第四象限，也不可能.

故該命題是假命題.

對于③，由圖形知，對于任意x∈R，有f（x）x，

即2f（x）+x＞0恒成立，③正確；

對于④，不妨令t，則tf（x1）+（1﹣t）f（x2）﹣f[tx1+（1﹣t）x2]＞0為

f（），不是恒成立，所以④錯誤．

綜上知，正確的命題序號是①③．

故選：B．