Question

設以向量

a

=(

2

，1)為方向向量的直線與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于不同的兩點P、Q．若點P、Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：確定兩個交點坐標，代入橢圓方程，化簡可得結論．

解答：解：由題意，兩個交點橫坐標是-c，c，所以兩個交點分別為（-c，-

2

2

c），（c，

2

2

c）
代入橢圓方程可得

c2

a2

+

c2

2b2

=1，兩邊乘2a²b²
∴c²（2b²+a²）=2a²b²
∵b²=a²-c²
∴c²（3a²-2c²）=2a⁴-2a²c²
∴2a⁴-5a²c²+2c⁴=0
∴（2a²-c²）（a²-2c²）=0
∴

c2

a2

=2，或

c2

a2

=

1

2

∵0＜e＜1
∴e=

c

a

=

2

2

故答案為：

2

2

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解題的關鍵是確定橢圓方程中a，b和c的關系．