Question

【題目】已知函數f（x）= （a＞0）在其定義域上為奇函數．
（1）求a的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a=±1．

由因為a＞0，所以a=1

（2）解：函數f（x）在R上是增函數，證明如下：

證法一：設x1，x2∈R，且x1＜x2，易知 ，

則 ．）

因為x1＜x2，所以 ，

所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函數

證法二：∵ ，

∴ ，

∵f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）是R上的增函數

【解析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a的值；（2）函數f（x）在R上是增函數，證法一：設x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 作差比較f（x1），f（x2）的大小，利用函數單調性的定義，可得f（x）是R上的增函數；
證法二：求導，根據′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．