Question

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，
O是底面ABCD對角線的交點.
（1）求證：A₁C⊥平面AB₁D₁；
（2）求.

Answer 1

（1） 面            1分          
又，                       2分
                                            3分
同理可證，                                     4分
又
面                                        5分
（2）法1:建系求解，求出平面的法向量得7分，直線AC的向量得8分，求出正確結果的得10分；法2：直線AC與平面所成的角實際上就是正四面體ACB₁D₁的一條棱與一個面所成的角，余弦值為，從而正切值為.
法3：直線AC與平面所成的角實際上就是直線AC 與平面所成的角      
法2、法3指出線面角得8分，計算出正確結果得10分

（1）證明線面垂直，需要證明直線垂直這個平面內的兩條相交直線，本題只需證：即可.
（2）可以利用向量法，也可以根據平面A₁ACC₁與平面AB₁D₁垂直，可知取B₁D₁的中點E，則就是直線AC與平面AB₁D₁所成的角.然后解三角形即可.