Question

在極坐標系Ox中，直線C₁的極坐標方程為ρsinθ=2，M是C₁上任意一點，點P在射線OM上，且滿足|OP|•|OM|=4，記點P的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C₂上的點到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出M、P的極坐標，由|OP|•|OM|=4，即M、P的極徑之積等于4得到兩點的極坐標的關系，把M的極坐標用P的極坐標表示，代入直線C₁的極坐標方程即可得到曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）化極坐標方程為普通方程，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與圓的半徑作和可求曲線C₂上的點到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設P（ρ₁，θ），M（ρ₂，θ），
由|OP|•|OM|=4，得ρ₁ρ₂=4，即ρ2=

4

ρ1

．
∵M是C₁上任意一點，∴ρ₂sinθ=2，即

4

ρ1

sinθ=2，ρ₁=2sinθ．
∴曲線C₂的極坐標方程為ρ=2sinθ；
（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0．
化為標準方程x²+（y-1）²=1．
則圓心坐標為（0，1），半徑為1．
由直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

，得：ρcosθcos

π

4

-ρsinθsin

π

4

=

2

．
即：x-y=2．
圓心（0，1）到直線x-y=2的距離為d=

|0×1+1×(-1)-2|

2

=

3 2

2

．
∴曲線C₂上的點到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值為1+

3 2

2

．

點評：本題考查了簡單曲線的極坐標方程，考查了直線與圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式，是基礎的計算題．