Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosAcosB+cosC=

3

sinAcosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，且tan（A+

π

4

）=2cos2A，求A的大小．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的余弦公式，將cosAcosB+cosC=

3

sinAcosB，變形為sinAsinB=

3

sinAcosB．求B．
（2）由tan（A+

π

4

）=2cos2A，得

tanA+1

1-tanA

=2（cos²A-sin²A），得出整體cosA-sinA=±

2

2

，cos（A+

π

4

）=±

1

2

，再結合△ABC為銳角三角形，確定A．

解答：解：（1）由已知得cosAcosB+cosC=

3

sinAcosB，
即cosAcosB+cos[π-（A+B）]=

3

sinAcosB．
cosAcosB-cos（A+B）=

3

sinAcosB．
所以sinAsinB=

3

sinAcosB，兩邊除以sinA，并移向得，tanB=

3

，∴B=

π

3

，
（2）由tan（A+

π

4

）=2cos2A，得

tanA+1

1-tanA

=2（cos²A-sin²A）
故

sinA+cosA

cosA-sinA

=2（cos²A-sin²A），
∴cosA-sinA=±

2

2

，cos（A+

π

4

）=±

1

2

，A+

π

4

=

π

3

或

2π

3

，
所以A=

π

12

或

5π

12

    
∵△ABC為銳角三角形，且B=

π

3

，
∴A∈（

π

6

，

π

2

），A=

5π

12

．

點評：本題考查三角函數公式的綜合靈活應用，考查轉化變形、計算能力．