Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，
∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點.
求證：
（1）DE∥平面ABC；
（2）B₁F⊥平面AEF.

Answer 1

證明略

  方法一 如圖建立空間直角坐標系A—xyz，


令AB=AA₁=4，
則A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）.
（1）取AB中點為N，則N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），         3分
∴=（-2，4，0），=（-2，4，0），
∴=，                                                  4分
∴DE∥NC，又NC平面ABC，DE平面ABC.
故DE∥平面ABC.                                                  6分
（2）=（-2，2，-4），
=（2，-2，-2），=（2，2，0）.
·=（-2）×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,
則⊥,∴B₁F⊥EF,                                         10分
∵·=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0.
∴⊥，即B₁F⊥AF，                                          12分
又∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                 14分
方法二 （1）連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP.由E為C₁C的中點且A₁C₁∥CP，可證A₁E=EP.
∵D、E分別是A₁B、A₁P的中點，
所以DE∥BP.                                   4分
又∵BP平面ABC，
DE平面ABC，
∴DE∥平面ABC.                                    6分
（2）∵△ABC為等腰三角形，F為BC的中點，
∴BC⊥AF，                                        8分
又∵B₁B⊥AF，B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BF，
而B₁F平面B₁BF，
∴AF⊥B₁F.                                    10分
設AB=A₁A=a，
則B₁F²=a²，EF²=a²，
B₁E²=a²，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，B₁F⊥FE.                            12分
又AF∩FE=F，綜上知B₁F⊥平面AEF.                  14分