Question

通過實驗知道如果物體的初始溫度是θ₁℃，環境溫度是θ₀℃，則經過時間t分鐘后，物體溫度θ將滿足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k為正常數．
已知一杯開水（100℃）在室溫為20℃的環境下經過30分鐘后溫度會降至30℃．
（1）若當前室溫為16℃，從冰柜中拿出的溫度為-4℃的冰塊，經過5分鐘之后，能否融化？（即溫度達到0℃以上，參考數據：

2

≈1.414）
（2）在室溫為-4℃的環境下，12℃的水經過多長時間可以結冰？-20℃的冰能否融化？（即變為0℃，請依據本題的原理解釋）
（3）探究：同樣多的一杯開水和一杯冷水一同放進冰箱，哪個先結冰？請猜想答案，有條件的在考后抽空做實驗并上網查閱相關資料．

Answer 1

分析：根據題意，先將題目中的條件代入公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，求解就可得到k的值．
（1）再利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，當前室溫為16℃，代入就可解出此時在室溫為20℃的環境下經過30分鐘后溫度會降至30℃．
（2）利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，計算12℃的水結冰時間，及-20℃的冰融化時間t₂不存在從而得出-20℃的冰在-4℃的條件下不可能融化；
（3）開水先結冰（詳見“姆潘巴的問題”）．

解答：解：依題意開水（100℃）在室溫20℃的環境下，經過30分鐘后溫度降至30℃．
故30=20+（100-20）•2^-k•30⇒k=

1

10

（2分） 
∴θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2-

t

10

…（3分）
（1）θ=16+（-4-16）•2-

5

10

=16-20×

2

2

≈1.86℃＞0℃…（6分）     
∴5分鐘之后，這個冰塊能融化．…（7分）
（2）12℃的水結冰：0=-4+（12-（-4））•2-

t1

10

⇒t₁=20分鐘…（9分）
-20℃的冰融化：0=-（-20-（-4））•2-

t2

10

：⇒t₂不存在（11分）
∴-20℃的冰在-4℃的條件下不可能融化．…（12分）    
（3）開水先結冰（詳見“姆潘巴的問題”）．（14分）

點評：本題考查了指數函數的綜合題，通過研究指數函數的性質解釋實際問題．我們要掌握底數 兩種基本情況下函數的性質特別是單調性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題．