Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD與平面ABCD所成角的正切值依次是1、，AP＝2，E、F依次是PB、PC的中點．

(1)求證：PB⊥平面AEFD；

(2)求直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由PA⊥平面ABCD，得AD⊥PA，結合AD⊥AB，得AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB，由PB與平面ABCD所成角的正切值為1，可得AB=AP，最后根據△PAB中，中線AE⊥PB且AE、AD是平面AEFD內的相交直線，證出PB⊥平面AEFD；（2）根據PD與平面ABCD所成角的正切值是，即可求得AD，取PA中點G，CD中點H，連接EG、GH、GD，證明∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角，求出GH，即可求出直線EC與平面PAD所成角的正弦值．

（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形

∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB 因為PA⊥平面ABCD，

故得到PD與平面ABCD所成角為角PBA，正切值為1，故得到AB=AP；

∵E是PB的中點，AB=AP，∴AE⊥PB

∵AB∩AE=A，

∴PB⊥平面AEFD

（2）因為PA⊥平面ABCD， PD與平面ABCD所成角的正切值是，即角PDA的正切值為，故得到 進而得到AD=4,

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，

又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

取PA中點G，CD中點H，連接EG、GH、GD，

則EG∥AB∥CD且，

∴EGHC是平行四邊形，∴EC∥HG

∴∠HGD即為直線EC與平面PAD所成的角

在Rt△GAD中， ,故得到，，

∴直線EC與平面PAD所成角的正弦值為