Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中點．
（1）求證：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的性質及CD⊥AC結合線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAC，進而CD⊥AE，根據等腰三角形三線合一，可得AE⊥PC，進而AE⊥面PCD，可得AE⊥PD，進而根據BA⊥PD，得到故PD⊥面ABE
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，分別求出平面APD和平面PCD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE⊆面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中點，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD
從而AE⊥面PCD，
∵PD?面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如圖建立空間直角坐標系，設AC=a，
則A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、D(0，

2a

3

，0)，C(

a

2

，

3 a

2

，0)，
從而

PD

=(0，

2a

3

，-a)，

DC

=(

a

2

，-

3 a

6

，0)，…（9分）
設

n1

=(x，y，z)為平面PDC的法向量，
則

n1 • PD = 2a 3 y-az=0 n1 • DC = a 2 x- 3 a 6 y=0

⇒可以取

n1

=(1，

3

，2)  …（11分）
又

n2

=(1，0，0)為平面PAD的法向量，
若二面角A-PD-C的平面角為θ
則|cosθ|=

1

| n1 |•| n2 |

=

1

8

  …（11分）
因此sinθ=

14

4

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定與性質，（1）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直與線線垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是構造坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．