Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為4．

求橢圓E的方程；

若A是橢圓E的左頂點，經過左焦點F的直線l與橢圓E交于C，D兩點，求與為坐標原點的面積之差絕對值的最大值．

已知橢圓E上點處的切線方程為，T為切點若P是直線上任意一點，從P向橢圓E作切線，切點分別為N，M，求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

由題意可知：，，根據橢圓的性質：，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；由題意設直線方程，，將直線方程代入橢圓方程，根據韋達定理求得，根據三角形的面積公式，分類，當時，，時，根據基本不等式的關系，即可求得的最大值為，設點，切點，，由可知兩切線方程PM，PN的方程，同去利用P點在切線PM，PN上，從而直線MN方程為，從而問題解決．

由題意得又，，所以，．

所以橢圓E的方程為．

設的面積為，的面積為．

當直線l斜率不存在時，直線方程為．

據橢圓對稱性，得，面積相等，所以．

當直線斜率存在時，設直線方程為，設，

聯立方程組，消由得，則．

所以．

又因為，當且僅當或時取“”．

所以的最大值為．

證明：設，，

由已知得切線切線，

把代入得，．

從而直線MN方程為，即．

對，當，時恒成立，恒過定點．