Question

在平面直角坐標系xOy中，設橢圓T的中心在坐標原點，一條準線方程為y=2，且經過點（1，0）．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設四邊形ABCD是矩形，且四條邊都與橢圓T相切．
①求證：滿足條件的所有矩形的頂點在一個定圓上；
②求矩形ABCD面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；
（2）由題意知，矩形ABCD是橢圓的外切矩形，①（i）若矩形ABCD的邊與坐標軸不平行，則可設一組對邊所在直線的方程為y=kx+m（k≠0），與橢圓方程聯立由△=0，即可得到m與k的關系式，進而的另一組對邊直線方程，消去參數即可證明結論；（ii）若矩形ABCD的邊與坐標軸平行，直接求出即可；
②當矩形ABCD的邊與坐標軸不平行時，由①知，一組對邊所在直線間的距離為另一組對邊的邊長，利用平行線間的距離公式即可得出．進而得到面積，利用函數的單調性即可得出．若矩形ABCD的邊與坐標軸平行時容易得出．

解答：解：（1）∵橢圓T的中心在坐標原點，一條準線方程為有y=2，
∴橢圓T的焦點在y軸上，于是可設橢圓T的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵橢圓T經過點（1，0），
∴

a2 a2-b2 =2 0 a2 + 1 b2 =1

解得

a2=2 b2=1

故橢圓T的方程為

y2

2

+x2=1．
（2）由題意知，矩形ABCD是橢圓x2+

y2

2

=1的外切矩形，
①（i）若矩形ABCD的邊與坐標軸不平行，則可設一組對邊所在直線的方程為y=kx+m（k≠0），
則由

x2+ y2 2 =1 y=kx+m

消去y得（k²+2）x²+2kmx+m²-2=0，
于是△=4k²m²-4（k²+2）（m²-2）=0，化簡得m=±

k2+2

．
∴矩形ABCD的一組對邊所在直線的方程為y=kx±

k2+2

，即y-kx=±

k2+2

，
則另一組對邊所在直線的方程為ky+x=±

1+2k2

，
于是矩形頂點坐標（x，y）滿足（y-kx）²+（ky+x）²=（k²+2）+（1+2k²），
即（1+k²）（x²+y²）=3（1+k²），亦即x²+y²=3．
（ii）若矩形ABCD的邊與坐標軸平行，則四個頂點(±1，  ±

2

)顯然滿足x²+y²=3．
故滿足條件的所有矩形的頂點在定圓x²+y²=3上．
②當矩形ABCD的邊與坐標軸不平行時，由①知，一組對邊所在直線間的距離為另一組對邊的邊長，
于是矩形的一條邊長為

2 k2+2

1+k2

，另一條邊長為

2 (- 1 k )2+2

1+(- 1 k )2

=

2 2k2+1

1+k2

．
∴S=

4 k2+2 • 2k2+1

1+k2

=

4 2k4+5k2+2

1+k2

=

4 2(k+ 1 k )2+1

|k+ 1 k |

，
令t=|k+

1

k

|，則t²∈[2，+∞），于是S=

4 2t2+1

t

=4

2+ 1 t2

∈(4

2

，  6]．
若矩形ABCD的邊與坐標軸平行，則S=4

2

．
故S的取值范圍是[4

2

，  6]．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相切問題轉化為方程聯立得到△=0、平行線間的距離公式、矩形的面積公式、函數的單調性等是解題的關鍵．