Question

在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值．

（1）以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程．

（2）過(guò)點(diǎn)（m,0）作圓x²＋y²＝1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)  （）為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距．                                              （2分）

因?yàn)?

又 ，所以 ，由題意得 ．

所以C點(diǎn)軌跡G 的方程為                           （6分）

（2） ．由題意知，|m|≥1．

當(dāng)m＝1時(shí)，切線l的方程為x＝1，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，此時(shí)|MN|＝．

當(dāng)m＝－1時(shí)，同理可知|MN|＝．                                     （7分）

當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝k（x－m），

由得（1＋4k²）x²－8k²mx＋4k²m²－4＝0．                    （8分）

設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），

則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

又由l與圓x²＋y²＝1相切，得＝1，即m²k²＝k²＋1，

所以|MN|＝＝

＝ ＝．                     （12分）

由于當(dāng)m＝±1時(shí)，|MN|＝．

所以|MN|＝，m∈（－∞，－1 ]∪[1，＋∞）．

因?yàn)閨MN|＝＝≤2，且當(dāng)m＝±時(shí)，|MN|＝2．

所以|MN|的最大值為2．                                            （14分）