Question

（本小題滿分14分）已知，函數．

（1）若函數在區間內是減函數，求實數的取值范圍；

（2）求函數在區間上的最小值；

（3）對（2）中的，若關于的方程有兩個不相等的實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1）解：∵，∴.……………………1分

∵函數在區間內是減函數，∴在上恒成立．2分

即在上恒成立，3分，∴．故實數的取值范圍為4分

（2）解：∵，令得．……………5分

①若，則當時，，所以在區間上是增函數，

所以．……6分

②若，即，則當時，，所以在區間上是增函數，所以．……7分

③若，即，則當時，

；當時，．

在上是減函數，在上是增函數．

．…8分

④若，即，則當時，，

所以在區間上是減函數．所以．………9分

綜上 …………10分

（3）解：由題意有兩個不相等的實數解，即（2）中函數的圖像與直線有兩個不同的交點．…11分而直線恒過定點，由右圖知實數的取值范圍是．……14分