Question

（2009•長寧區一模）設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t為常數t≠0），且a₁=1．
（1）當t=2時，求a₂和a₃；
（2）若數列{a_n+1}是等比數列，求常數t的值；
（3）求數列{a_n}的前n項和S_n關于t的表達式．

Answer 1

分析：（1）將t=2代入，只需利用已知條件表達出S₁，S₂，S₃ 即可求得a₂和a₃；
（2）問中通過寫出兩個關系式，再相減易得a_n-ta_n-1=1，這個遞推式明顯是一個構造新數列的模型，從而利用{a_n+1}是等比數列，求出t的值；
（3）在（2）的基礎上構造等比數列模型，再利用等比數列的求和公式，即可求得，應注意分類討論．

解答：解：（1）因為t=2及S_n-tS_n-1=n，得S_n-2S_n-1=n，所以（a₁+a₂）-2a₁=2且a₁=1
，解得a₂=3
同理（a₁+a₂+a₃）-2（a₁+a₂）=3，解得a₃=7
（2）當n≥3時，S_n-tS_n-1=n，得S_n-1-tS_n-2=n-1兩式相減得：a_n-ta_n-1=1（**）（6分）
即a_n+1=ta_n-1+2
當t=0時，a_n+1=2顯然{a_n+1}是等比數列（7分）
當t≠0時，令b_n=a_n+1，可得b_n=tb_n-1+2-t
因為{a_n+1}是等比數列，所以{b_n}為等比數列，
當n≥2時，b_n+1b_n-1=b_n²恒成立，（8分）
即 [tbn+(2-t)]-

bn- (2-t)

t

=

b

2 n

恒成立，
化簡得（t-2）（t+1）b_n-（2-t）²=0恒成立，
即

(t-2)(t+1)=0 (2-t)2=0

，解得t=2
綜合上述，t=0（舍）或t=2（9分）
（3）當t=1時，由（**）得a_n-a_n-1=1
數列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以 Sn=

n(n+1)

2

（10分）
當t≠1時，由（**）得a_n=ta_n-1+1
設a_n+k=t（a_n-1+k）（k為常數）
整理得a_n=ta_n-1+（t-1）k
顯然 k=

1

t-1

（12分）
所以 an+

1

t-1

=t(an-1+

1

t-1

)
即數列 {an+

1

t-1

}是以 1+

1

t-1

為首項，t為公比的等比數列
所以 an+

1

t-1

=(1+

1

t-1

)tn-1，
即 an=

t

t-1

tn-1-

1

t-1

所以 Sn=

tn+1+(1-t)n-t

(1-t)2

所以 Sn=

n(n+1) 2 (t=1) tn+1+(1-t)n-t (1-t)2 (t≠1)

（16分）

點評：根據題設特征恰當地構造輔助數列，利用基本數列可簡捷地求出通項公式，一般地，a_n=ta_n-1+1可以變形為a_n+k=t（a_n-1+k）（k為常數），則可得{ a_n+k}是公比為t的等比數列，屬于中檔題．