Question

已知：命題p：函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）=1-3x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，且|g（a）|＜2．命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．求實數(shù)a的取值范圍，使命題p、q有且只有一個是真命題．

Answer 1

【答案】分析：據(jù)關(guān)于y=x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)求出g（x），解絕對值不等式求出命題p為真命題時a的范圍，根據(jù)兩集合的交集為∅時，對集合A分類討論：A=∅時，△＜0；A≠∅時，即方程的根為非正根求出q為真命題時a的范圍；命題p、q有且只有一個是真命題，分類討論求出a的范圍．
解答：解：若命題p是真命題則有
因為f（x）=1-3x，所以
由|g（a）|＜2，得，解得-5＜a＜7
若命題q為真命題則有
∵A∩B=φ，且B={x|x＞0}，故集合A應(yīng)分為A=φ和A≠φ兩種情況
當(dāng)A=φ時，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0
當(dāng)A≠φ時，
解得a≥0
故a＞-4
若p真q假，則-5＜a≤4，
若p假q真，則a≥7
使命題p、q有且只有一個是真命題實數(shù)a的取值范圍為（-5，4]∪[7，+∞），
點評：本題考查復(fù)合命題的真假與組成其簡單命題的真假的關(guān)系．