Question

已知函數，若數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N₊）且對任意的兩個正整數m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，那么實數a的取值范圍是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

Answer 1

【答案】分析：由函數f（x）=，數列a_n滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且對任意的兩個正整數m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，我們得函數f（x）=為增函數，根據分段函數的性質，我們得函數在各段上均為增函數，根據一次函數和指數函數單調性，我們易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此構造一個關于參數a的不等式組，解不等式組即可得到結論．
解答：解：∵對任意的兩個正整數m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，
∴數列{a_n}是遞增數列，
又∵f（x）=，
a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故實數a的取值范圍是（2，3）
故選C．
點評：本題考查的知識點是分段函數，其中根據分段函數中自變量n∈N^*時，對應數列為遞增數列，得到函數在兩個段上均為增函數，且f（7）＜f（8），從而構造出關于變量a的不等式是解答本題的關鍵．