Question

如圖，實(shí)線(xiàn)部分是某公園設(shè)計(jì)的游客觀(guān)光路線(xiàn)平面圖，曲線(xiàn)部分是以AB為直徑的半圓，點(diǎn)O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，．若游客在每條路線(xiàn)上游覽的“心悅效果”均與相應(yīng)的線(xiàn)段或弧的長(zhǎng)度成正比，且中間路線(xiàn)DE，DF，EF的比例系數(shù)為2k，兩邊路線(xiàn)DA，DB，AE，BF的比例系數(shù)為k（k＞0），假定該公園整體的“心悅效果”y是游客游覽所有路線(xiàn)“心悅效果”的和．
（1）試將y表示為x的函數(shù)；
（2）試確定當(dāng)x取何值時(shí)，該公園整體的“心悅效果”最佳？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，建立三角函數(shù)模型，根據(jù)所給的條件看出要用的三角形的邊長(zhǎng)和角度，用余弦定理寫(xiě)出要求的邊長(zhǎng)，表述出函數(shù)式，整理變化成最簡(jiǎn)的形式，得到結(jié)果．
（2）要求函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)上一問(wèn)整理的函數(shù)式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單增區(qū)間和單減區(qū)間，看出變量x取到的結(jié)果．
解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，
∴弧EF、AE、BF的長(zhǎng)分別為π-4x，2x，2x
連接OD，則由OD=OE=OF=1，
∠FOD=∠EOD=2x+，
∴DE=DF===（sinx+cosx），
∴y=2k[2（sinx+cosx）+π-4x]+k（2+4x）=2k[2（sinx+cosx）-2x++π]；
（2）∵由y′=4k[（sinx+cosx）-1]=0，
解得：cos（x+）=，即x=，
又當(dāng)x∈（0，）時(shí)，y'＞0，此時(shí)y在（0，）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（，））時(shí)，y'＜0，此時(shí)y在（，）上單調(diào)遞減．
故當(dāng)x=時(shí)，該公園整體的“心悅效果”最佳．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道難度較大的題，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面第一需要自己根據(jù)條件建立三角函數(shù)模型寫(xiě)出解析式，再對(duì)解析式進(jìn)行整理運(yùn)算，得到函數(shù)性質(zhì)，這是一個(gè)綜合題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意．