Question

雙曲線＝1(a>0，b>0)的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設F是雙曲線的右焦點，直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q，點M為線段PQ的中點．若點M在直線x＝－2上的射影為N，滿足·＝0，且||＝10，求直線l的方程．

Answer 1

(1) x²－＝1.(2) 3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.

試題分析：(1)依題意有
解得a＝1，b＝，c＝2.所以，所求雙曲線的方程為x²－＝1.（4分）
(2)當直線l⊥x軸時，||＝6，不合題意．（5分）
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－2)．
由得，
(3－k²)x²＋4k²x－4k²－3＝0.                          
因為直線與雙曲線的右支交于不同兩點，所以3－k²≠0.（7分）
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，則x₁、x₂是方程①的兩個正根，于是有

所以k²>3。 （9分）
因為·＝0，則PN⊥QN，又M為PQ的中點，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.
又|MN|＝x₀＋2＝5，∴x₀＝3，
而x₀＝＝＝3，∴k²＝9，解得k＝±3.（10分）
∵k＝±3滿足②式，∴k＝±3符合題意．
所以直線l的方程為y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.（12分）
點評：中檔題，涉及雙曲線的題目，在近些年高考題中是屢見不鮮，往往涉及求標準方程，研究直線與雙曲線的位置關系。求標準方程，主要考慮定義及a,b,c,e的關系，涉及直線于雙曲線位置關系問題，往往應用韋達定理。本題利用“垂直關系”較方便的得到了直線的斜率，進一步確定得到直線方程。