Question

（2012•眉山二模）對于函數y=f（x），我們把使f（x）=0的實數x叫做函數y=f（x）的零點，且有如下零點存在定理：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）•f（b＜0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點．給出下列命題：
①若函數y=f（x）有反函數，則f（x）有且僅有一個零點；
②函數f（x）=2x³-3x+1有3個零點；
③函數y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象的交點有且只有一個；
④設函數f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點的和為18；
其中所有正確命題的序號為

②④

．（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：①可通過舉指數函數的例子來說明此命題是錯誤的；
②可研究函數的極值結合單調性判斷出函數的圖象與X軸的交點個數從而得出零點個數，即可判斷命題的真假；
③構造函數f（x）=

x2

6

-|log₂x|，通過零點存在定理研究函數有幾個零點，即可得出兩函數有幾個交點；
④函數f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得出函數的圖象關于x=3對稱，由對稱性即可判斷出命題的真假．

解答：解：①若函數y=f（x）有反函數，則f（x）有且僅有一個零點是錯誤的，譬如y=2^x，是單調函數，有反函數，但其函數值恒大于0，無零點；
②函數f（x）=2x³-3x+1有3個零點正確；由于f′（x）=6x²-3，可解得函數f（x）=2x³-3x+1在區間（-∞，-

2

2

）與（

2

2

，+∞）上是增函數，在（-

2

2

，

2

2

）是減函數，故函數存在極大值f（-

2

2

）＞0，極小值f（

2

2

）＜0，故函數有三個零點；
③函數y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象的交點有且只有一個是錯誤的，可利用存在零點的條件f（a）f（b）＜0來解決這個問題，兩函數圖象的交點的橫坐標就是函數f（x）=

x2

6

-|log₂x|的零點，
其中f（1）=

1

6

＞0，f（2）=-

1

3

＜0，f（4）=

2

3

＞0，所以在直線x=1右側，函數有兩個零點．一個在（1，2）內，一個在（2，4）內，故函數f（x）=

x2

6

-|log₂x|共有3個零點，即函數y=

x2

6

和y=|log₂x|的圖象有3個交點．
④設函數f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點的和為18是正確的，由函數f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得函數的圖象關于x=3對稱，又函數f（x）恰有6個不同的零點，此6個零點構成三組關于x=3對稱的點，由中點坐標公式可得出這6個零點的和為18．
故答案為②④

點評：本題考查命題的真假判斷及利用導數研究函數的零點，利用零點存在定理判斷零點的個數，函數圖象的對稱性，涉及到的知識點較多，綜合性強，屬于基礎知識與技巧訓練題，解答時要嚴謹認真，全面掌握相關基礎知識是迅速解題的保證