Question

【題目】如圖三棱柱中，側面為菱形， ．

（1）證明： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】試題分析：（1）由四邊形是菱形可以得到，結合有平面，因此，根據是的中點得到．（2）由題設條件可證明，從而兩兩相互垂直，設為單位長，則建立如圖所示空間直角坐標系，通過計算半平面的法向量的夾角來計算二面角的余弦值．

解析：（1）連接，交于點，連接，因為側面為菱形，所以，且為及的中點，又， ，所以平面．由于平面，故．又，故 ．

（2）因為，且為的中點，所以．又因為，所以，故，從而兩兩相互垂直， 為坐標原點， 的方向為軸正方向， 為單位長，建立如圖所示空間直角坐標系．

因為，所以為等邊三角形，又，則， ． ， ，設是平面的法向量，則，即，所以可取，設是平面的法向量，則，同理可取， ，所以二面角的余弦值為．