Question

（本小題滿分14分）

已知x＝4是函數f（x）＝alnx＋x²－12x+11的一個極值點．

（1）求實數a的值；

（2）求函數f（x）的單調區間；

（3）若直線y＝b與函數y＝f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）∵f′（x）＝＋2x－12，

∴f′（4）＝＋8－12＝0

因此a＝16   ……………………………………………3分

（2）由（1）知，

f（x）＝16lnx＋x²－12x＋11，x∈（0，＋∞）

f′(x)＝…………………………5分

當x∈(0,2)∪(4，＋∞)時，f′(x)＞0

當x∈(2,4)時，f′(x)＜0……………………………………………7分

所以f(x)的單調增區間是(0,2)，(4，＋∞)

f(x)的單凋減區間是(2,4) ……………………………………………………………………8分

(3)由(2)知，f(x)在(0,2)內單調增加，在(2,4)內單調減少，在(4，＋∞)上單調增加，且當x＝2或x＝4時，f′(x)＝0

所以f(x)的極大值為f(2)＝16ln2－9，極小值為f(4)＝32ln2－21

因此f(16)＝16ln16+16²－12×16+11＞16ln2－9＝f(2)

f(e^－2)＜－32＋11＝－21＜f(4)

所以在f(x)的三個單調區間(0,2)，(2,4) ，(4，＋∞)內，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個交點，

當且僅當f(4)＜b＜f(2)成立………………………………………………………………………………13分

因此，b的取值范圍為（32 ln2－21,16ln2－9）． …………………………………………………………14分

【解析】略